La secuencia primaria (progresión de los números primos), como sabemos, ha sido y está siendo construida mediante elaborados algoritmos y la ayuda de poderosas computadoras. Por desgracia, no existe algoritmo alguno que permita producir en un tiempo y costo razonable el enésimo primo dentro de la secuencia primaria o bien determinar la "primidad" de un particular número (enormes números de la forma 2n+1, diferente a cualquier múltiplo de 5). El presente escrito, aunque no pretende solucionar este problema, creemos que contribuye con una aproximación a la secuencia primaria para facilitar la determinación de mejores algoritmos.

De esta suerte, nuestro objetivo es más humilde: determinar la secuencia límite o que más nos aproxime a la progresión de los números primos con el fin de que sirva de base para quienes andan en la búsqueda de algoritmos más eficaces para la determinación de números primos del orden de los millones de dígitos. Para lograr este objetivo, en primer lugar ordenamos la secuencia de los números naturales en una matriz de 18 columnas que nos permita obtener (mediante la eliminación de las columnas no productoras de números primos, además de la determinación de las distancias entre los números que conforman la secuencia) otras secuencias que se aproximan de manera gradual a la progresión primaria. Veremos que hay un límite para esta tarea debido a la presencia de números compuestos irreductibles, al menos en apariencia, a un criterio que los pueda ordenar en alguna matriz.

La manera de conteo que se ha elegido, es una combinación de números pares (mismos que representan las distancias entre los números de las secuencias) y que no es más que una variante de la "Criba de Eratóstenes" (véase la frase con la que se inicia este ensayo). Es verdad que la "Criba de Eratóstenes" resulta poco práctica para números muy grandes, pero también es cierto que desde otras perspectivas (más generales o inclusivas) esta criba tiene mucho que ofrecer como herramienta en el estudio de los números primos; como ejemplo de esta aplicación culminamos con una referencia a nuestras contribuciones en relación con la Conjetura Binaria de Goldbach.

A. Antecedentes y Desarrollo de Nuestras Ideas.
Primeramente recordemos que:
1) El conjunto de los números primos está constituido por aquellos números que únicamente son divisibles por uno y por sí mismos (es decir, que si los dividimos por otros números dejarán, en todos los casos, un remanente).
2) Un número compuesto, por su parte, es el "... que tiene un divisor distinto de él y de la unidad." (ii) Por lo tanto, pueden factorizarse, también, en números primos.
3) Una progresión es una...

Secuencia ordenada de números. En general una progresión se representa así: a1, a2, a3, a4... an... donde a1 es el primer término de la progresión y an es el enésimo término de la misma. Según la relación que existe entre los elementos consecutivos de una progresión, ésta puede ser aritmética, geométrica, armónica, o de otros tipos (iii).

En este trabajo nos apoyamos en la noción de progresión aritmética, es decir, aquella "lista o conjunto ordenado de números"(iv) que guardan una diferencia o un conjunto de diferencias (como veremos más adelante) constantes entre sí.

De aquí en adelante nos referiremos a las progresiones en términos de secuencias. Acordemos en representar una determinada secuencia del modo que se lee: secuencia de "a" en "b" desde "n" hasta el infinito.

Ejemplos:

Para nuestro objetivo enunciado comenzaremos por retomar el primer ejemplo dado líneas arriba, a saber: que no es otro que el conjunto de los números naturales (o, si se prefiere, de los números enteros positivos). Con el fin de ubicar los números primos, ordenemos en una matriz de 18 columnas al menos hasta el número 522; así, obtenemos:



Observamos que los números primos (en gris) se ubican, junto con "algunos" compuestos impares, en las columnas A, E, G, K, M y Q. Eliminemos, pues, las columnas en las que no aparezcan primos (aunque observamos que en las columnas B y C están los primos 2 y 3, respectivamente, éstos no "producen primo alguno en sus columnas"), de este modo queda la siguiente matriz de 6 columnas.

Observamos, de entrada, que se define la secuencia dado que las distancias entre los números que componen la matriz es de 4, 2. La presentación lineal de esta secuencia es:



En esta secuencia observamos que es posible deshacernos de los múltiplos de 5 (incluido el propio 5 que, como sabemos, también es primo). Es decir que, para desembarazarnos de los múltiplos de 5, se puede definir una nueva secuencia, a saber: . Cuya solución (hasta el 541) es:



Y que podemos, a su vez, ordenar en una matriz de 8 columnas:



Aunque, según podemos notar, ya no podemos determinar distancias regulares entre los números compuestos, el porcentaje de primarios es superior al de los compuestos al menos para los primeros 144 números de esta secuencia. Desde luego que "la historia" de los primos se repetirá, creemos, conforme se avance en la secuencia, a saber: a pesar de la infinitud de su conjunto, serán más "escasos" conforme la serie represente números enteros positivos muy grandes. Las perspectivas para el estudio de los primos dentro de esta última matriz suponemos que mejoraría si hiciésemos un tratamiento de las columnas como "secuencias secundarias" de , haciendo, para cada uno de los valores, de la manera siguiente:







1. ¿Por qué precisamente estos números compuestos (de la forma 2n+1) acompañan a los números primos? Pareciera inevitable su presencia, lo que nos hace pensar en que sus características serían "especiales" en comparación con los números compuestos que, gracias a no han sido incluidos.
2. ¿ Si poseyeran características especiales y diferenciadoras de los otros compuestos de la forma 2n+1 diferentes a los múltiplos de 5, debieran estos números compuestos recibir alguna denominación especial; por ejemplo la de "compuestos primarios"?
3. ¿En las "secuencias secundarias" con sus específicos números primos "iniciales", incluyen compuestos con características diferentes entre sí; considerando de entrada que se originaron de sumar 30 a uno de los primos que les da origen?
4. ¿Bajo qué criterios podría hacerse una presentación modular de cada una de las "secuencias secundarias", considerando que los "compuestos primarios" (vamos a llamarlos así de manera provisional) parecen distribuirse al azar dentro de esas secuencias?
De hecho, la presencia de esos "compuestos primarios", pensamos, tiene que ver con el planteamiento de Clawson:

¿Existe alguna ecuación polinómica que genere solamente números primos cuando se sustituya la X (de los polinomios ) con los números enteros? No. Desdichadamente, cada ecuación polinómica con coeficiente entero tendrá una cantidad infinita de valores de X con los que producirá números compuestos. Por lo tanto, no debemos esperar encontrar una ecuación polinómica común, de ningún grado, que produzca cien por ciento de números primos (sic).(v)

5. Las representaciones hasta ahora propuestas, ¿en qué medida pueden contribuir en la codificación de grandes volúmenes de información?
6. ¿Estas aproximaciones propuestas pueden facilitar la creación de mejores algoritmos productores de números primos y cómo podemos demostrar esto? Las tareas sugeridas por estas preguntas, escapan a las posibilidades de este trabajo y a las capacidades del autor (al menos en el momento en que se presenta este escrito). Sin embargo, uno de nuestros trabajos prioritarios será el de intentar la elaboración de algún algoritmo útil.

Notas:

i.- Calvin C. Clawson. MISTERIOS MATEMÁTICOS (Magia y Belleza de los Números) Ed. Diana. México, 1999. p 174.
ii.- Santiago Valiente. ALGO ACERCA DE LOS NÚMEROS (Lo Curioso y lo Divertido). Ed. Alhambra Mexicana. México, 1995. p. 73
iii.- Francisco Noreña. MATEMÁTICAS DE EMERGENCIA. Ed. Pangea. México, 1999. p 251
iv.- Calvin C. Clawson. Op cit. p 63.
v.-Ibid pp 193-194.